# 1.4 二进制表示法（Representing Numbers and Letters with Binary） > “Everything is number.”by Pythagoras > > 「万物皆数。」——毕达哥斯拉 ## 1.4.1 二进制在二进制中，每个符号就是二进制元数字（0/1）中的一个二进制位（binary digit）或是称之为一位（bit）。二进制基数为 2，位权为 2 的整数次幂。用 0 和 1 这两个数字表示，逢二进一。

$2^0$	$2^1$	$2^2$	$2^3$	$2^4$	$2^5$	$2^6$	$2^7$	$2^8$	$2^9$	$2^{10}$	$2^{11}$
1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2048

| $2^{12}$ | $2^{13}$ | $2^{14}$ | $2^{15}$ | $2^{16}$ | | :------: | :------: | :------: | :------: | :------: | | 4096 | 8192 | 16384 | 32768 | 65536 |

计算机中的数据常用 8 位表示，又名 1 字节（1 bit = 1Byte）。8 位二进制可按 3 位为一组（高位补零）转换为八进制： | 八进制 | 二进制 | | :-: | :-: | | 0 | 000 | | 1 | 001 | | 2 | 010 | | 3 | 011 | | 4 | 100 | | 5 | 101 | | 6 | 110 | | 7 | 111 | ## 1.4.2 进制转换十进制转二进制则「除基逆序取余」，二进制转十进制则「乘位权后相加」。

## 1.4.3 单位换算因 $10^3=1000$ 与 $2^{10}=1024$ 是近似值，故在某些时候 KB 所描述的两种含义经常混用（i.e. 1KB = 1000 or 1024 Byte 均正确）。通常来说描述存储容量或是文件大小时以 2 为底，描述频率或速率时以 10 为底。e.g. 32 位或 64 位计算机是指每次按块处理数据的单块长度位 32b 或 64b（32b 可表示的最大数约为 43 亿，64b 则为 $9.2^{10}$）。

十进制术语	缩写	数值	二进制术语	缩写	数值	数值差别
kilobyte	KB	$10^3$	kibibyte	KiB	$2^{10}$	2%
megabyte	MB	$10^6$	mebibyte	MiB	$2^{20}$	5%
gigabyte	GB	$10^9$	gibibyte	GiB	$2^{30}$	7%
terabyte	TB	$10^{12}$	tebibyte	TiB	$2^{40}$	10%

e.g. 1KB = 1000B = 8000b；1MB = 1000KB etc. ## 1.4.4 负数与浮点数为了便于存储数据，计算机将内存中的位置标记称为「位址」（memory addresses）。当硬盘（memory）的容量到达 GB 和 TB 这样上万亿字节的量级时，需要用 32/64 位的数字来表示位址。地址无需区分数字的正负，在其他情况下则需要区分（银行存款）。此时可用 32 位中的第 1 位标识正负（1 负 0 正），剩下的 31 位表示数字本身（实数），可表示范围为 ±20 亿左右（ $-2^{31}$ \~ $2^{31}-1$ ）。非整数因其小数点可以在数字中浮动而称为「浮点数」（Floating Point Numbers），其最常见的表示标准是 IEEE 754 标准。该标准使用类似于科学计数法的方式存储十进制值。具体表示方法为「浮点数 = 有效位数 × 指数」，以 32 位浮点数为例，第 1 位表示正负，第 2\~9 位则表示指数，剩下 23 位存储有效位数。e.g. 625.9 = 0.6259（有效位数）× $10^3$（指数）

## 1.4.5 字符英国作家弗朗西斯·培根（Francis Bacon）曾用 5 位序列来编码 26 个英文字母，在 1600s 传递机密信件。5 位最多可表示 $2^5=32$ 个数字，足够容纳英文字母，但无法表示符号与数字以及大小写字母。

### ASCII ASCII 全称为美国信息交换标准代码（American Standard Code for Information Interchange），于 1963 年发明，使用 7 位代码表示 128 个不同的值。在 ASCII 中，除了大小写字母、数字以及常用符号之外，还有一些特殊命令符号。比如使用换行符（图中 10）进行换行。

ASCII 的出现使得不同公司所制造的设备之间能够交换数据，我们将这种能够通用交换信息的能力称为「互用性」（interoperability）。 ASCII 为英文设计，在其他非英语国家不够通用。因电脑中 1 字节有 8 位，ASCII 中未使用的 128\~256 可供各个国家进行再次编码。常见用途如下： * 美国：主要用于编码附加符号，如数学符号、图形元素或是常用重音字符。 * 俄罗斯：用于表示西里尔（Cyrillic）字符。 * 希腊：表示希腊字母。 ### Unicode 尽管 ASCII 留有空余编码，但对非拉丁语系的国家仍不适用（比如中国和日本）。因此各国均发明了多字节编码方案，但互不兼容，由此带来新的问题——乱码（因过于常见，在日本甚至有个词 mojibake 表示这种情况）。 Unicode 于 1992 年诞生，采用统一编码方案解决乱码问题。最常见的 Unicode 是 16 位的，可表示的量级达百万，甚至有空位放 Emoji 😉。 --- # Agent Instructions: Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter: ``` GET https://cccs.viyi.cc/1-ji-suan-ji-zu-cheng/1.4-er-jin-zhi-biao-shi-fa-representing-numbers-and-letters-with-binary.md?ask= ``` The question should be specific, self-contained, and written in natural language. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.