1.4 二进制表示法（Representing Numbers and Letters with Binary）

“Everything is number.”by Pythagoras

「万物皆数。」——毕达哥斯拉

1.4.1 二进制

在二进制中，每个符号就是二进制元数字（0/1）中的一个二进制位 （binary digit） 或是称之为一位 （bit）。

二进制基数为 2，位权为 2 的整数次幂。用 0 和 1 这两个数字表示，逢二进一。

计算机中的数据常用 8 位表示，又名 1 字节（1 bit = 1Byte）。8 位二进制可按 3 位为一组（高位补零）转换为八进制：

1.4.2 进制转换

十进制转二进制则「除基逆序取余」，二进制转十进制则「乘位权后相加」。

1.4.3 单位换算

因 $10^3=1000$ 与 $2^{10}=1024$ 是近似值，故在某些时候 KB 所描述的两种含义经常混用（i.e. 1KB = 1000 or 1024 Byte 均正确）。

通常来说描述存储容量或是文件大小时以 2 为底，描述频率或速率时以 10 为底。e.g. 32 位或 64 位计算机是指每次按块处理数据的单块长度位 32b 或 64b（32b 可表示的最大数约为 43 亿，64b 则为 $9.2^{10}$）。

e.g. 1KB = 1000B = 8000b；1MB = 1000KB etc.

1.4.4 负数与浮点数

为了便于存储数据，计算机将内存中的位置标记称为「位址」（memory addresses）。当硬盘（memory）的容量到达 GB 和 TB 这样上万亿字节的量级时，需要用 32/64 位的数字来表示位址。

地址无需区分数字的正负，在其他情况下则需要区分（银行存款）。此时可用 32 位中的第 1 位标识正负（1 负 0 正），剩下的 31 位表示数字本身（实数），可表示范围为 ±20 亿左右（ $-2^{31}$ ~ $2^{31}-1$ ）。

非整数因其小数点可以在数字中浮动而称为「浮点数」（Floating Point Numbers），其最常见的表示标准是 IEEE 754 标准。该标准使用类似于科学计数法的方式存储十进制值。

具体表示方法为「浮点数 = 有效位数 × 指数」，以 32 位浮点数为例，第 1 位表示正负，第 2~9 位则表示指数，剩下 23 位存储有效位数。e.g. 625.9 = 0.6259（有效位数）× $10^3$（指数）

1.4.5 字符

英国作家弗朗西斯·培根（Francis Bacon）曾用 5 位序列来编码 26 个英文字母，在 1600s 传递机密信件。5 位最多可表示 $2^5=32$ 个数字，足够容纳英文字母，但无法表示符号与数字以及大小写字母。

ASCII

ASCII 全称为美国信息交换标准代码（American Standard Code for Information Interchange），于 1963 年发明，使用 7 位代码表示 128 个不同的值。

在 ASCII 中，除了大小写字母、数字以及常用符号之外，还有一些特殊命令符号。比如使用换行符（图中 10）进行换行。

ASCII 的出现使得不同公司所制造的设备之间能够交换数据，我们将这种能够通用交换信息的能力称为「互用性」（interoperability）。

ASCII 为英文设计，在其他非英语国家不够通用。因电脑中 1 字节有 8 位，ASCII 中未使用的 128~256 可供各个国家进行再次编码。常见用途如下：

• 美国：主要用于编码附加符号，如数学符号、图形元素或是常用重音字符。

• 俄罗斯：用于表示西里尔（Cyrillic）字符。

• 希腊：表示希腊字母。

Unicode

尽管 ASCII 留有空余编码，但对非拉丁语系的国家仍不适用（比如中国和日本）。因此各国均发明了多字节编码方案，但互不兼容，由此带来新的问题——乱码（因过于常见，在日本甚至有个词 mojibake 表示这种情况）。

Unicode 于 1992 年诞生，采用统一编码方案解决乱码问题。最常见的 Unicode 是 16 位的，可表示的量级达百万，甚至有空位放 Emoji 😉。